PDA

Voir la version complète : Calcul de racines carrées à la main



kredence
23/01/2010, 10h01
Pas de calculatrice ? Une racine carrée à calculer ? Ne vous inquiétez pas, plusieurs méthodes existent...


Une méthode existe pour calculer des racines carrées sans calculatrice (chose qui peut devenir utile dans des examens où les calculatrices sont interdites...)

Cette méthode est appelée méthode de Héron d'Alexandrie. Et rien ne vaut un exemple pour comprendre...

Cherchons donc la racine carrée du nombre 431 :

En fait on va créer une suite qui va converger en l'infini vers la valeur de cette racine. Pour le premier terme de cette suite, c'est de tête qu'il faut le calculer ; ici on remarque que 20² (20*20 = 400 alors que 21*21 = 441) est le nombre entier le plus proche de la solution. Notons donc la suite que l'on va créer (Un).

On va donc prendre Uo=20.

Ensuite les valeurs suivantes vont se trouver par récurrence.

On pose Un+1 = 1/2

La valeur 431 est la valeur de la racine que l'on cherche. Et donc cette suite va converger vers la valeur exacte de cette racine carrée.

Exemple :

Uo = 20
U1 = 1/2(20+431/20) = 1/2(20+21.55) = 20.775
U2 = 1/2(20.755+431/20.755) = 1/2(20.755 + 20.766) = 20.760
U3 = 1/2(20.760+431/20.760) = 1/2(20.760 + 20.761) = 20.760

=>Racine de carrée = 20.760 (arrondie !)

Mais d'où sort ce Un+1?[u]

En fait, à chaque étape on évalue la moyenne arithmétique des deux valeurs approchées de la racine carrée cherchée. Si Un est une valeur approchée par excès, alors pour l'exemple 431/Un est la valeur approchée par défaut et réciproquement.

Voilà, juste une méthode simple pour retrouver une racine carrée...